В таблице 1 приведены 100 независимых числовых значений результата измерения X. Необходимо проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения. Записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности P=0,91. Представить 2 варианта доверительного интервала: для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения.
Таблица 1. Исходные данные
Исходные данные (Q) |
||||||||||||||
39.31 |
39.10 |
39.08 |
39.15 |
39.01 |
39.53 |
39.21 |
39.33 |
39.15 |
39.98 |
39.34 |
39.66 |
39.25 |
39.58 |
39.45 |
39.64 |
39.32 |
39.28 |
39.66 |
39.33 |
39.40 |
39.27 |
39.32 |
39.90 |
39.25 |
39.61 |
39.24 |
39.55 |
39.26 |
39.03 |
39.16 |
39.16 |
39.01 |
39.27 |
39.22 |
39.19 |
39.30 |
39.42 |
39.36 |
39.23 |
39.57 |
39.29 |
39.39 |
39.22 |
39.02 |
39.91 |
39.50 |
39.10 |
39.09 |
39.43 |
39.19 |
39.69 |
39.03 |
39.22 |
39.43 |
39.25 |
39.58 |
39.92 |
39.49 |
39.25 |
39.43 |
39.02 |
39.09 |
39.68 |
39.57 |
39.18 |
39.39 |
39.23 |
39.89 |
39.08 |
39.40 |
39.74 |
39.39 |
39.22 |
39.24 |
39.41 |
39.05 |
39.69 |
39.53 |
39.49 |
39.10 |
39.34 |
39.64 |
39.24 |
39.64 |
39.42 |
39.15 |
39.66 |
39.15 |
39.73 |
39.79 |
39.07 |
39.23 |
39.28 |
39.42 |
39.41 |
39.29 |
39.34 |
39.53 |
39.29 |
- Используя исходные данные, найдем значение среднего арифметического и оценки среднего квадратического отклонения :
- С помощью правила «трех сигм» проверим наличие грубых промахов:
Ни один из результатов не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 принимается гипотеза об отсутствии грубых промахов. Перерасчет значений среднего арифметического и оценки среднего квадратического отклонения не требуется.
3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.
Для того, чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в вариационный ряд по возрастанию их численных значений – таблица 2.
Таблица 2. Вариационный ряд
Q, В |
m |
Q, В |
m |
Q, В |
m |
Q, В |
m |
Q, В |
m |
Q, В |
m |
39,01 |
2 |
39,18 |
1 |
39,29 |
3 |
39,42 |
3 |
39,64 |
3 |
39,92 |
1 |
39,02 |
2 |
39,19 |
2 |
39,3 |
1 |
39,43 |
2 |
39,66 |
3 |
39,98 |
2 |
39,03 |
2 |
39,21 |
1 |
39,31 |
1 |
39,45 |
1 |
39,68 |
1 |
||
39,05 |
1 |
39,22 |
4 |
39,32 |
2 |
39,49 |
2 |
39,69 |
2 |
||
39,07 |
1 |
39,23 |
3 |
39,33 |
2 |
39,5 |
1 |
39,73 |
1 |
||
39,08 |
2 |
39,24 |
3 |
39,34 |
3 |
39,53 |
3 |
39,74 |
1 |
||
39,09 |
2 |
39,25 |
4 |
39,36 |
1 |
39,55 |
1 |
39,79 |
1 |
||
39,1 |
3 |
39,26 |
1 |
39,39 |
3 |
39,57 |
2 |
39,89 |
1 |
||
39,15 |
4 |
39,27 |
2 |
39,4 |
2 |
39,58 |
2 |
39,9 |
1 |
||
39,16 |
2 |
39,28 |
2 |
39,41 |
2 |
39,61 |
1 |
39,91 |
1 |
Участок оси абсцисс, на котором располагает вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов . Выбор числа интервалов k=8:
Выбор начала первого интервала в точке 39,00, тогда конец последнего(8-го) интервала окажется в точке 40,08.
Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов , попавших в данный интервал и определяется
Результаты приведены в таблице 3.
Интервалы, в которые попало менее пяти наблюдений объединяются с соседними. Общее число интервалов становится равным 7.
4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.
Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа:
, и определяем по таблице.
Найдя, таким образом, значения Рi для каждого интервала ki , заполним соответствующие ячейки таблицы 3, а затем рассчитаем значение - критерия для каждого интервала и, наконец суммарное значение =3,5.
Определим табличное значение , задавшись доверительной вероятностью 0,91 и вычислив по формуле r=k-3 число степеней свободы:
r =k-3=7-3=4 ;
=7,78>3,5
Таким образом, с вероятностью 0,91 гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений напряжения принимается.
Таблица 3. Результаты расчетов
i |
Qi-1 |
Qi |
mi |
zi-1 |
zi |
Фi-1 |
Фi |
Pi |
||
1 | 39 | 39,12 | 15 | 1,25 | -1,587826087 | -1,066086957 | 0,09853 | 0,19489 | 0,8 | 0,528125 |
2 | 39,12 | 39,24 | 20 | 1,67 | -1,066086957 | -0,544347826 | 0,19489 | 0,33724 | 1,2 | 0,833333333 |
3 | 39,24 | 39,36 | 22 | 1,83 | -0,544347826 | -0,022608696 | 0,33724 | 0,508 | 1,9 | 1,485473684 |
4 | 39,36 | 39,48 | 13 | 1,08 | -0,022608696 | 0,499130435 | 0,508 | 0,6736 | 0,7 | 0,464142857 |
5 | 39,48 | 39,6 | 11 | 0,92 | 0,499130435 | 1,020869565 | 0,7296 | 0,8133 | 0,6 | 0,400166667 |
6 | 39,6 | 39,72 | 10 | 0,83 | 1,020869565 | 1,542608696 | 0,8383 | 0,9082 | 0,5 | 0,32 |
7 | 39,72 | 39,84 | 3 | 0,58 | 1,542608696 | 2,064347826 | 0,9182 | 0,9871 | ||
8 | 39,84 | 39,96 | 4 | 3,503116541 | ||||||
9 | 39,96 | 40,08 | 2 |
5. Представим результаты в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью Р = 0,91.
Для этого определим среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения напряжения по формуле:
Исходя из того, что закон распределения вероятности результата измерения с вероятностью 0,91 соответствует нормальному, считаем, что, и закон распределения вероятности среднего арифметического тоже соответствует нормальному. Поэтому выбираем параметр t по таблице нормированного нормального распределения вероятности. Для доверительной вероятности Р=0,91 параметр t=1,35.
Тогда результат измерения запишется следующим образом:
или с вероятностью .
39,3337 ≤ Q ≤ 39,3966
Учитывая то обстоятельство, что среднее квадратическое отклонение может быть оценено экспериментально с точностью до двух значащих цифр, округлим границы доверительного интервала до тысячных долей вольта. В итоге получим:
39,334B ≤ Q ≤ 39,397B
Если же есть основания полагать, что среднее арифметическое имеет неизвестное, отличное от нормального распределение вероятности, то относительную ширину доверительного интервала рассчитаем по формуле:
, .
Окончательно результат измерения примет вид:
или с вероятностью
или после округления
Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации.
6. Строим гистограмму (рис.1).
Гистограмма строится исходя из следующих соображений:
1) Начало первого интервала располагается на оси абсцисс перед минимальным значением, а конец последнего – после максимального значения.
2) Масштаб гистограммы выбирается так, чтобы ее высота относилась бы к основанию примерно как 5 к 8.
Рисунок 1 — Гистограмма и выравнивающая нормальная кривая, иллюстрирующая гипотезу о виде ЗРВ