Обработка результатов многократных измерений

В таблице 1 приведены 100 независимых числовых значений результата измерения X. Необходимо проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения. Записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности P=0,91. Представить 2 варианта доверительного интервала: для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения.

Таблица 1. Исходные данные

Исходные данные (Q)
39.31	39.10	39.08	39.15	39.01	39.53	39.21	39.33	39.15	39.98	39.34	39.66	39.25	39.58	39.45
39.64	39.32	39.28	39.66	39.33	39.40	39.27	39.32	39.90	39.25	39.61	39.24	39.55	39.26	39.03
39.16	39.16	39.01	39.27	39.22	39.19	39.30	39.42	39.36	39.23	39.57	39.29	39.39	39.22	39.02
39.91	39.50	39.10	39.09	39.43	39.19	39.69	39.03	39.22	39.43	39.25	39.58	39.92	39.49	39.25
39.43	39.02	39.09	39.68	39.57	39.18	39.39	39.23	39.89	39.08	39.40	39.74	39.39	39.22	39.24
39.41	39.05	39.69	39.53	39.49	39.10	39.34	39.64	39.24	39.64	39.42	39.15	39.66	39.15	39.73
39.79	39.07	39.23	39.28	39.42	39.41	39.29	39.34	39.53	39.29

1. Используя исходные данные, найдем значение среднего арифметического  и оценки среднего квадратического отклонения :

 

 

1. С помощью правила «трех сигм» проверим наличие грубых промахов:

 

Ни один из результатов не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 принимается гипотеза об отсутствии грубых промахов. Перерасчет значений среднего арифметического  и оценки среднего квадратического отклонения  не требуется.

3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.

Для того, чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в вариационный ряд  по возрастанию их численных значений – таблица 2.

Таблица 2. Вариационный ряд

Q, В	m	Q, В	m	Q, В	m	Q, В	m	Q, В	m	Q, В	m
39,01	2	39,18	1	39,29	3	39,42	3	39,64	3	39,92	1
39,02	2	39,19	2	39,3	1	39,43	2	39,66	3	39,98	2
39,03	2	39,21	1	39,31	1	39,45	1	39,68	1
39,05	1	39,22	4	39,32	2	39,49	2	39,69	2
39,07	1	39,23	3	39,33	2	39,5	1	39,73	1
39,08	2	39,24	3	39,34	3	39,53	3	39,74	1
39,09	2	39,25	4	39,36	1	39,55	1	39,79	1
39,1	3	39,26	1	39,39	3	39,57	2	39,89	1
39,15	4	39,27	2	39,4	2	39,58	2	39,9	1
39,16	2	39,28	2	39,41	2	39,61	1	39,91	1

 

Участок оси абсцисс, на котором располагает вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов . Выбор числа интервалов k=8:

 

Выбор начала первого интервала в точке 39,00, тогда конец последнего(8-го) интервала окажется в точке 40,08.

Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов , попавших в данный интервал и определяется

Результаты приведены в таблице 3.

Интервалы, в которые попало менее пяти наблюдений объединяются с соседними. Общее число интервалов становится равным 7.

4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.

Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа:

, и  определяем по таблице.

Найдя, таким образом, значения Р_i  для каждого интервала k_i , заполним соответствующие ячейки таблицы 3, а затем рассчитаем значение  _-  критерия для каждого интервала и, наконец суммарное значение                             =3,5.

Определим  табличное значение  , задавшись доверительной вероятностью 0,91 и вычислив по формуле r=k-3 число степеней свободы:

r =k-3=7-3=4 ;

=7,78>3,5

Таким образом, с вероятностью 0,91 гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений напряжения принимается.

Таблица 3. Результаты расчетов

i	Qi-1	Qi	mi		zi-1	zi	Фi-1	Фi	Pi
1	39	39,12	15	1,25	-1,587826087	-1,066086957	0,09853	0,19489	0,8	0,528125
2	39,12	39,24	20	1,67	-1,066086957	-0,544347826	0,19489	0,33724	1,2	0,833333333
3	39,24	39,36	22	1,83	-0,544347826	-0,022608696	0,33724	0,508	1,9	1,485473684
4	39,36	39,48	13	1,08	-0,022608696	0,499130435	0,508	0,6736	0,7	0,464142857
5	39,48	39,6	11	0,92	0,499130435	1,020869565	0,7296	0,8133	0,6	0,400166667
6	39,6	39,72	10	0,83	1,020869565	1,542608696	0,8383	0,9082	0,5	0,32
7	39,72	39,84	3	0,58	1,542608696	2,064347826	0,9182	0,9871
8	39,84	39,96	4							3,503116541
9	39,96	40,08	2

5. Представим результаты в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью Р = 0,91.

Для этого определим среднее квадратическое отклонение среднего арифметического  значения напряжения по формуле:

Исходя из того, что закон распределения вероятности результата измерения с вероятностью 0,91 соответствует нормальному, считаем, что, и закон распределения вероятности среднего арифметического тоже соответствует нормальному. Поэтому выбираем параметр t по таблице нормированного нормального распределения вероятности. Для доверительной вероятности Р=0,91 параметр t=1,35.

Тогда результат измерения запишется следующим образом:

или с вероятностью .

39,3337 ≤ Q ≤ 39,3966

Учитывая то обстоятельство, что среднее квадратическое отклонение  может быть оценено экспериментально с точностью до двух значащих цифр, округлим границы доверительного интервала до тысячных долей вольта. В итоге получим:

39,334B ≤ Q ≤ 39,397B

Если же есть основания полагать, что среднее арифметическое  имеет неизвестное, отличное от нормального распределение вероятности, то относительную ширину доверительного интервала рассчитаем по формуле:

, .

Окончательно результат измерения примет вид:

или   с вероятностью

или после округления

Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации.

6.      Строим гистограмму (рис.1).

Гистограмма строится исходя из следующих соображений:

1)      Начало первого интервала располагается на оси абсцисс перед минимальным значением, а конец последнего – после максимального значения.

2)      Масштаб гистограммы выбирается так, чтобы ее высота относилась бы к основанию примерно как 5 к 8.

 

Рисунок 1 — Гистограмма и выравнивающая нормальная кривая, иллюстрирующая гипотезу о виде ЗРВ